• 本文目录导读：
• 1、什么是凸函数？
• 2、什么是凸集分离定理？
• 3、凸函数定理与凸集分离定理之间的关系
• 4、应用实例

作为一门纯粹的学科，数学一直以来都给人们留下了神秘而又高深的印象。然而，当我们深入探究其中的奥秘时，就会发现数学中蕴涵着一种美妙而又实用的力量。今天我将带大家走进数学领域中一个鲜为人知但却非常实用的概念——凸函数定理与凸集分离定理。

什么是凸函数？

在谈论凸函数定理之前，我们必须先了解什么是“凸函数”。简单来说，如果一个连续可微函数$f(x)$满足：

$$ f(lambda x_1 + (1-lambda) x_2) leq lambda f(x_1)+(1-lambda)f(x_2), 0 < lambda < 1 $$

那么就称其为“凸函数”。其中$x_1$和$x_2$是$f(x)$定义域内任意两个点。

这个定义可能有些抽象，因此我们可以通过图形来更好地理解它。如下图所示：

左侧是一个凸函数，右侧则不是。可以看出，在凸函数中，任意两个点之间的连线都在函数图像的上方。这个性质非常重要，并且也是接下来我们讨论的凸集分离定理的核心。

什么是凸集分离定理？

有了对于“凸函数”的了解之后，我们再来谈谈“凸集分离定理”。它其实就是一个关于平面上两个不相交闭凸集之间存在一条直线将它们分开的结论。

具体地说，如果有两个不相交闭凸集$A$和$B$，那么就存在一条直线$L$满足$L$将平面划分成了两部分，并且所有属于$A$的点都在$L$同一侧，而所有属于 $B $ 的点则在另外一侧。

需要注意的是，在这里我们所讲述的“直线”并非只能指水平或垂直方向上的直线。事实上，“直线”可以泛指任何形状、倾斜程度各异甚至弯曲多变、无法用解析式描述但却满足定义条件（即：对于该直线上某一个点$x_0$, 使得对于直线上的任意两个点$x_1$和$x_2$, 必有$lambda x_1 + (1-lambda)x_2 = x_0$的$lambda in [0, 1]$），且将平面划分成两部分的线性形状。

凸函数定理与凸集分离定理之间的关系

可能很多人会感到奇怪，为什么要在讲“凸函数”时提到“凸集分离定理”，这两者看上去好像没有什么联系啊？实际上，它们之间是紧密相关的。

具体来说，如果我们将一个不相交闭凸集$A$表示为以下形式：

$$ A = {x|f_i(x) leq b_i, i=1,cdots,m} $$

其中$f_i(x)$是以$x$为自变量、$b_i$是常数，则我们可以发现：当$f(x)$是一个关于$x$连续可微、下凸函数时（即对任意 $x_1,x_2in R^n , foralllambdain[0, 1]$ 都有 $f(lambda x_{1}+(1-lambda ) x_{2})leq lambda f(x_{1}) + ( 1- lambda ) f(x_{2}) $），则其图像下方所有点所组成的区域也一定是一个不相交闭凸集。因此，我们就可以使用“凸集分离定理”来证明两个下凸函数图像的不相交性。

应用实例

那么，凸函数定理与凸集分离定理到底有什么实际应用呢？这里举一个经典的例子：线性规划问题。

在线性规划问题中，我们需要求解一个目标函数在一些约束条件下最优解。其中，“目标函数”和“约束条件”都是由线性方程组表示的。因此，如果我们能够证明这些方程组定义出来的区域属于不相交闭凸集，则就可以使用“凸集分离定理”来寻找最优解。

如上图所示，在红色区域内寻找使得目标函数取得最大值或最小值的点时，我们就可以采用“凸集分离定理”的思想——即将该区域与$f(x)$所表示的直线进行比较，以确定给定$x$处是否为最优点。这样一来，在复杂度上就大大降低了计算难度。

通过本文对于“凸函数定理”和“凸集分离定理”的详细讲解，相信读者已经对它们有了更深入、更全面、更系统的理解。这两个概念虽然看上去有些抽象，但实际上却具有非常广泛的应用价值。无论是在数学领域还是其他领域中，只要掌握了它们，都能够帮助我们更加高效地解决各种问题。