如何判断矩阵是否为正交矩阵？正交矩阵的判断方法及例题解析
end{aligned} $$则称A为正交矩阵。我们可以逐个计算矩阵A中每两列向量之间的点积，验证行向量与列向量的乘积是否满足定义设$A_{ij}$表示矩阵A第$i$行第$j$列元素。
什么是正交矩阵？
在线性代数中，我们学过向量的内积和向量的长度，进而学习了基于内积和长度定义的正交概念。类比到矩阵上，我们可以定义两个$n$维列向量$textbf{a}$和$textbf{b}$的内积为$textbf{a}^Ttextbf{b}$。如果一个$ntimes n$方阵A满足$A^TA=I_n$，即有：$$ begin{aligned} & A^TA=left[begin{matrix}vert&cdots&vert a_1&a_2&cdots vert&cdots&vert end{matrix}right]left[begin{matrix}| & a_1 & | vdots & vdots & vdots | & a_n & | end {matrix}right] = I_n, & AA^T=left[begin {matrix}|&&|&&| a_1&a_2&…&a_n |&&|&&| end {matrix}right]left[begin {matrix}rule[0pt]{10pt}{8pt}&{}^{a_1}_{ }&{}rule[0pt]{10pt}{8pt} && {}_{ } {}rule[0pt]{10pt}{8pt}&{}^{a_i}_{ }&{}rule[0pt]{10pt}{8pt} && {}_{ } {}rule[0pt]{10pt}{8pt}&{}^{a_n}_{ }&{}rule[0pt]{10pt}{8 pt} end {matrix}right]=I_n, end{aligned} $$
则称A为正交矩阵。正交矩阵的列向量两两正交且长度为1，因此它是一种非常特殊的方阵。
如何判断一个矩阵是否为正交矩阵？
对于一个$ntimes n$方阵A，我们需要判定它是否是正交矩阵。
方法一：计算$A^TA$和$AA^T$
如果有$$ A^TA=I_n,quad AA^T=I_n, $$ 则称A为正交矩阵。这个方法最直接、最简单，但也最容易出错。因为计算机运算可能会存在误差，在实际中很难保证精度完全正确。
方法二：验证列向量的内积是否满足定义
我们知道，若$textbf{a}$和$textbf{b}$是$n$维列向量，则有$$ textbf{a}^Ttextbf{b}=|textbf{a}||textbf{b}|cos{theta}, $$ 其中$theta$表示$textbf{a}$与$textbf {b}$之间的夹角。对于一组正交向量，它们的内积为0；对于一组长度为1的向量，它们的内积即为cosine值。因此，我们可以逐个计算矩阵A中每两列向量之间的点积，并判断它们是否符合定义。
方法三：验证行向量与列向量的乘积是否满足定义
设$A_{ij}$表示矩阵A第$i$行第$j$列元素，则有$$ AA^T=left[begin {matrix}|&&|&&| a_1&a_2&…&a_n |&&|&&| end {matrix}right]left[begin {matrix}rule[0pt]{10pt}{8pt}&{}^{a_1}_{ }&{}rule[0pt]{10pt}{8pt} && {}_{ } {}rule[0pt]{10 pt}{8pt}&{}^{a_i}_{ }&{}rule[0pt]{10 pt}{8 pt} && {}_{ } {}rule[0 pt]{10 pt}{8 pt}&{}^{a_n}_{ }&{}rule [0pt]{10pt} {8 pt} end {matrix}right]=left[begin{matrix}textbf{a}_1^Ttextbf{a}_1 & textbf{a}_1^Ttextbf{ a}_2 & … & textbf{ a}_ 1 ^ T textbf{ a} _ n … & … & … & … textbf{ a} _ n ^ T textbf { a} _ 1 & textbf{ a} _ n ^ Ttextbf { a } _ 2 & … & textbf{a}_n^Ttextbf{a}_n end{matrix}right]. $$ 我们可以逐个计算每一个$AA^T$中的元素，并验证它们是否符合定义。
例题解析
现在我们来看几道例题，帮助大家更好地理解正交矩阵的判断方法。
1. 判断下列矩阵是否为正交矩阵：$$ A=left[begin {matrix}1&-1&0 0&1&-1 -1&0&1 end {matrix}right] $$
我们可以直接计算：$$ A^TA=left[begin {matrix}2&-1&-1 – 1&2&- 1 – 1&
– 10
end{matrix}right],quad AA^T=left[begin {matrix}2&
0&
00
0&
2&
00
&
20
end {matrix}right]. $$ 显然，两个结果都不是$I_3$。因此，A不是正交矩阵。
2. 判断下列矩阵是否为正交矩阵：$$ B=frac13left[begin {matrix}-4 &
4 &
4
-4 &
-4
end{ matrix }right] $$ 我们先验证一下B的所有列向量是否是长度为1的向量：$$ begin{aligned} & textbf{b}_1=frac13left[begin {matrix}-4 4 4 end{ matrix }right],quad |textbf{b}_1|=sqrt{frac49+frac49+frac49}=1, & textbf{b}_2=frac13left[begin {matrix}4 -4 4 end{ matrix }right],quad |textbf{b}_2|=sqrt{frac49+frac49+frac49}=1, & textbf { b } _ 3 = frac13 [
begin { matrix }
4
44
– 44
end { matrix }] ,
quad |
textbf { b } _3 |=
sqrt { frac39 + frac39 + frac39 }=1.
end {
aligned}
$$ 接下来，我们计算$B^TB$：$$ B^TB=I_3. $$ 因此，B是正交矩阵。
总结
本文介绍了正交矩阵的定义、判断方法及例题解析。对于判断矩阵是否为正交矩阵，我们可以通过计算$A^TA$和$AA^T$、验证列向量的内积或行向量与列向量的乘