在现代社会中，我们每天都需要用到各种各样的货币。而在某些情况下，我们可能需要从一台自动提款机（ATM）中取款。但是，在ATM中取款时，我们必须确保我们所提取的金额不超过可用余额。这就是POJ-1276 Cash Machine问题要解决的问题。

该问题可以被视为一个多重背包问题，其中每个物品具有数量和价值，并且最终目标是使总价值最大化。然而，在这种情况下，物品的数量可能受到限制，并且不能超过ATM上可用余额。

对于这个特定的问题，我们可以使用多重背包算法来解决它。该算法与传统0/1背包算法类似，但允许在选定物品时选择多个相同类型的物品。

首先建立一个二维数组dp[i][j]表示当余额为j时前i件物品能拿到最大价值（注意：因为此题涉及到求方案数等复杂操作,此处dp[i][j]并不直接记录最大价值,而是记录是否存在一种方案,满足前i件商品拿走后恰好得到了j元钱）。那么对于第i件物品，它的数量为num[i]，价值为val[i]。则有如下转移方程：

dp[i][j]=dp[i-1][j-k*val[i]] (0<=k=k*val[i])

其中，当i=0或j=0时，dp数组均为0。

最终的答案就是在所有满足条件的情况下找到最大的可用余额。

接下来我们通过代码实现上述算法:

“`c++

#include

using namespace std;

int dp[10005];//记录是否存在一种方案,使得恰好凑出i元钱

int num[105], val[105];//分别表示物品数量和价值

int main(){

int n,m;//n表示物品个数,m表示ATM余额

while(scanf(“%d%d”, &m, &n) == 2){

memset(dp, 0, sizeof(dp));

for(int i = 1; i <= n; i++){

scanf(“%d%d”, &val[i], &num[i]);

}

dp[0] = 1;//初始状态为可以拿走零元钱。

for(int k = 1; k <= num[i]; k *= 2){//多重背包优化：二进制优化

int t = m – val[k*i]*k;//t代表当前剩余金额

if(t < 0) break;

for(int j = t; j >= val[k*i]; j–){

if(dp[j – val[k*i]]){

dp[j] = 1;

}

}

num[i] -= k;

}

if(num[i]){//剩下的物品数量直接使用完全背包算法

for(int j = m; j >= val[i]; j–){

if(dp[j – val[i]]){

}

}

int ans = 0;//找到最大可用余额

for(int i = m; i >= 0; i–){

if(dp[i]){

ans = i;

break;

}

printf(“%dn”, ans);

}

return 0;

}

“`

此外，我们还可以使用二进制优化的方法来进一步优化多重背包算法。这种方法可以将每个物品拆分为log（num）个物品，其中num是该物品的数量。这样，在每次迭代时，我们只需要迭代log（num）次而不是num次。

在本题中，当我们尝试将k件商品添加到dp数组中时，我们可以通过二进制分解来实现上述优化。例如，在k=11时，它等于2 ^ 3 + 2 ^ 1 +2 ^ 0。因此，在这种情况下，我们只需要添加三个val [i]和三个val [i]*2^3+val [i]*2^1+val [i]*2^0，并且仅当剩余金额大于或等于所需金额时才进行操作。

总之,通过多重背包算法和二进制优化，我们可以有效地解决POJ-1276 Cash Machine问题。无论是在实际生活中还是在计算机科学领域中，多重背包算法都具有广泛的应用前景。