• 本文目录导读：
• 1、推导递归数列通项公式
• 2、非递归实现斐波那契数列

在数学中，递归数列通项公式是指可以通过前面一些项来确定后续所有项的一个表达式。而斐波那契数列是一个特殊的递归数列，其前两个数字为0和1，后续每个数字都是前两个数字之和。本文将探讨如何推导出递归数列通项公式，并介绍非递归实现斐波那契数列的方法。

推导递归数列通项公式

首先考虑一个简单的例子：求解斐波那契序列第n个元素F(n)。

根据定义可知：

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

这是一个典型的递推问题，我们可以使用逆向思维来解决此类问题。即从已知条件开始向前推导出未知条件。

假设我们已经知道了F(n-1)和F(n-2)，如何求得F(n)? 根据上述定义可得：

因此我们只需要计算出来F(n-1)，再加上它与之相邻的元素值就能够得到F(n)的值了。

同样地，如果我们已知了F(n-2)和F(n-3)，可以通过类似的方式得到：

F(n-1) = F(n-2) + F(n-3)

这样就可以一直递推下去，直到求解出所需的元素值为止。但是，这种方法存在一个问题：重复计算。在上述例子中，我们需要计算多次相同的项，导致效率低下。因此我们需要优化算法以提高其效率。

考虑如何将递归式转换为非递归式来避免重复计算。

非递归实现斐波那契数列

斐波那契数列是最常见的递归问题之一。使用逆向思维进行推导时会产生很多重复计算，影响程序效率。因此我们需要找到一种更好的方法来解决这个问题。

首先考虑一个简单粗暴但不太优秀的方法：使用数组存储每个数字，并根据前两个数字求出后面所有数字：

“`

int fibonacci(int n)

{

int f[n+1];

f[0] = 0;

f[1] = 1;

for (int i=2; i<=n; i++)

f[i] = f[i-1] + f[i-2];

return f[n];

}

该方法空间复杂度为O(n)，时间复杂度也为O(n)。虽然该方法很容易理解，但是在n比较大的时候会存在内存不足的问题。因此我们需要进一步优化。

考虑将数组改为两个变量，分别存储当前元素和前一个元素：

int a = 0, b = 1, c;

if (n == 0)

return a;

{

c = a + b;

a = b;

b = c;

}

return b;

该方法空间复杂度为O(1)，时间复杂度也为O(n)。该算法避免了重复计算，并且只使用了常数级别的额外空间。

递归数列通项公式和斐波那契数列是经典的递推问题，在算法学习中具有重要意义。本文介绍了如何推导出递归数列通项公式，并给出了非递归实现斐波那契数列的两种方法。希望本文能够对读者们有所启发，同时也欢迎各位读者提供宝贵意见和建议。