卷积 3 分组卷积详解，信号与系统卷积详解
分组卷积将输入数据和滤波器划分成多个子集。并且每个子张量都与一个单独的滤波器进行线性卷积，我们可以通过将输入信号与单位响应进行连续时间线性卷积来获得输出信号。
在数字信号处理中，卷积是一种广泛应用的数学运算。它被用于信号处理、图像处理、语音识别等领域。本文将对卷积和分组卷积进行详细介绍，并探讨其在信号与系统中的应用。
什么是卷积？
首先我们来了解一下什么是卷积。在数学上，两个函数 f 和 g 的连续时间（CT）线性卷积定义为：
$$(f*g)(t)=int_{-infty}^{infty}f(tau)g(t-tau)dtau$$
其中 * 表示连续时间线性卷积运算符。
类似地，在离散时间（DT）系统中，两个序列 x(n) 和 h(n) 的离散时间线性卷积定义为：
$$(x*h)(n)=sum_{k=-infty}^{infty}x(k)h(n-k)$$
其中 * 表示离散时间线性卷积运算符。
这些公式看起来可能有些抽象，但实际上它们描述了如何将一个函数或序列与另一个函数或序列进行“混合”。例如，在图像处理中，我们可以使用一个称为“卷积核”的小型矩阵对图像进行卷积，以实现模糊、锐化和边缘检测等效果。
分组卷积是什么？
在实际应用中，我们可能需要处理的数据很大，而计算线性卷积的时间复杂度很高。为了减少计算量，可以使用分组卷积（group convolution）。
分组卷积将输入数据和滤波器划分成多个子集，并对每个子集进行单独的线性卷积。这样可以显著减少计算量，并且使得模型能够适应更大的输入数据。
例如，在深度学习中，我们通常会使用 3 分组卷积（group convolution），其中输入张量被划分为三个子张量，并且每个子张量都与一个单独的滤波器进行线性卷积。这种方法被广泛应用于视觉任务中。
信号与系统中的应用
在信号处理和系统理论中，连续时间线性时不变系统可由其单位响应完全描述。因此，在许多情况下，我们可以通过将输入信号与单位响应进行连续时间线性卷积来获得输出信号。
类似地，在离散时间系统中，我们可以使用离散时间线性卷积来描述系统的响应。这种方法在数字信号处理和控制系统中得到广泛应用。
例如，在音频处理中，我们可以通过将输入信号与一个滤波器进行离散时间线性卷积来实现降噪、均衡化和增强效果。同样，在图像处理中，我们也可以使用离散时间线性卷积对图像进行模糊、锐化和边缘检测等操作。
本文介绍了卷积和分组卷积，并探讨了它们在信号与系统领域的应用。虽然这些概念可能有些抽象，但它们是数字信号处理、图像处理等领域不可或缺的基础知识。